Halaman
Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit PT. Setia Purna InvestBelajar Matematika Aktif dan MenyenangkanUntuk SMP/MTs Kelas IXSPI 03-01-20-02-036Penulis : Wahyudin Djumanta Dwi SusantiEditor : Tim Setia Purna InvesPerancang Kulit : Tim Setia Purna InvesLayouter : Tim Setia Purna InvesIlustrator : Tim Setia Purna InvesUkuran Buku : 17,6 × 25 cm510.71DJU DJUMANTA, Wahyudin bBelajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX/oleh Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. –Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. vi, 162 hal. : tab.; ilus.; foto., 25 cm indeks, hlm. 160-161 ISBN 979-462-974-41. Matematika Studi dan Pembelajaran I. Judul II. Wahyudin Djumanta III. Susanti, DwiHak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
iiiPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat PerbukuanKata Sambutan
ivPendidikan adalah modal dasar bagi peningkatan kualitas sumber daya manusia sehingga manusia dituntut untuk terus berupaya mempelajari, memahami, dan menguasai berbagai macam disiplin ilmu untuk kemudian diaplikasikan dalam segala aspek kehidupan. Matematika sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuan memegang peranan penting dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, Matematika memiliki tingkat urgensitas yang tinggi karena merupakan landasan awal bagi terciptanya sumber daya manusia yang cerdas dan berkualitas.Sesuai dengan misi penerbit untuk menciptakan inovasi baru dalam dunia pendidikan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggungjawab tersebut dengan menyediakan bahan ajar Matematika yang berkualitas dan sesuai dengan kurikulum yang berlaku saat ini.Buku ini disusun dengan mengutamakan pendekatan secara inkuiri (eksperimen) dan disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif, serta adanya keruntutan rangkaian (bab dengan subbab, antarsubbab dalam bab, antaralinea dalam subbab). Sebelum mempelajari materi, sebaiknya terlebih dahulu membaca bagian Advanced Organizer yang terdapat pada halaman awal setiap bab agar dapat mengetahui isi bab secara umum, Diagram Alur sebagai peta jalan pemahaman materi pada setiap bab, dan Tes Apersepsi Awal sebagai evaluasi materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan. Di akhir setiap bab, terdapat Ringkasan dan Refleksi yang bertujuan lebih meningkatkan pemahaman kamu tentang materi yang telah dipelajari dengan memunculkan umpan balik untuk evaluasi diri. Buku ini dilengkapi juga dengan beberapa materi, tugas, dan soal pengayaan, diantaranya Infomatika, InfoNet, Siapa Berani?, TechnoMath, Tugas untukmu, MatematikaRia, dan Uji Kecerdikan yang dapat memperluas wawasan dan pengetahuanmu tentang materi yang sedang dipelajari.Untuk menguji pemahamanmu terhadap materi yang telah dipelajari, diberikan Tes Kompetensi Subbab pada setiap akhir subbab, Tes Kompetensi Bab pada setiap akhir bab, dan Tes Kompetensi Semester pada setiap untuk menguji pemahaman materi selama satu tahun ajaran. Semua tes kompetensi tersebut merupakan sarana mengevaluasi pemahaman dan melatih kemampuan menerapkan konsep/prinsip yang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari. Adapun Kunci Jawaban (nomor ganjil) kami sajikan untuk memudahkan Anda dalam mengevaluasi hasil jawaban.Untuk menumbuhkan daya nalar, kreativitas, dan pola berpikir matematis, kami sajikan Aktivitas yang menuntut peran aktif kamu dalam melakukan kegiatan tersebut.Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan. Bandung, Juli 2008 PenulisKata Pengantar
vKata Sambutan • iiiKata Pengantar • ivDaftar Simbol • viBab 1Kesebangunan dan Kekongruenan • 1Diagram Alur • 2A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen • 3B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun • 10C. Dua Segitiga yang Kongruen • 17Ringkasan • 26Refleksi • 27Tes Kompetensi Bab 1 • 27Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung • 31Diagram Alur • 32A. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung • 33B. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung • 43Ringkasan • 52Refleksi • 53Tes Kompetensi Bab 2 • 53Bab 3Statistika • 57Diagram Alur • 58A. Pengumpulan dan Penyajian Data • 59B. Ukuran Pemusatan Data • 69C. Ukuran Penyebaran Data • 79D. Distribusi Frekuensi • 83Ringkasan • 85Refleksi • 86Daftar IsiTes Kompetensi Bab 3 • 86Bab 4Peluang • 89Diagram Alur • 90A. Pengertian Peluang • 91B. Frekuensi Harapan • 102Ringkasan • 104Refleksi • 104Tes Kompetensi Bab 4 • 105Tes Kompetensi Semester 1 • 108Bab 5Pangkat Tak Sebenarnya • 111Diagram Alur • 112A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat • 113B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan • 123Ringkasan • 132Refleksi • 133Tes Kompetensi Bab 5 • 133Bab 6Barisan dan Deret Bilangan • 135Diagram Alur • 136A. Pola Bilangan • 136B. Barisan dan Deret Bilangan • 141Ringkasan • 151Refleksi • 152Tes Kompetensi Bab 6 • 152Tes Kompetensi Semester 2 • 154Tes Kompetensi Akhir Tahun • 156Kunci Jawaban • 158Glosarium • 159
visudut+tambah; plus; positif–kurang; minus; negatifkali:bagisebanding dengan∆ segitiga=sama dengan≠ tidaksamadengansedemikian hingga; makaakar kuadratalphabetagamma//sejajarABurururruas garis|ABururur|panjang ruas gariskongruentegak lurusπphi (3,141592 ...)°derajatsebangunDaftar Simbol
1Kesebangunan dan Kekongruenan1BabSumber: i160.photobucket.comKamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII. Perbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep kesebangunan dan kekongruenan.Kesebangunan sangat penting peranannya dalam kehidupan sehari-hari seperti uraian berikut.Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak pada gambar berikut.Setelah dilakukan peng ukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m. Berapa meter lebar sungai itu? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.A.Bangun-Bangun yang Sebangun dan KongruenB.Segitiga-Segitiga yang SebangunC.Dua Segitiga yang KongruenPada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.ADEFBC
2Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXDiagram AlurSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu.Tes Apersepsi Awal1. Suatu peta digambar dengan skala 1 : 500.000. Berapakah jarak pada peta jika jarak sesungguh nya 25 km?2. Jika harga 6 buah penggaris adalah Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah penggaris ter sebut?3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis segi tiga ditinjau dari: a. panjang sisinya; b. besar sudutnya.4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini. Tentukan nilai ¾.5. Perhatikan gambar berikut ini. a. Tentukan besar ¾DEC b. Tentukan besar ¾BEC. c. Tentukan sudut yangsaling bertolak belakang.Kesebangunan dan KekongruenanSebangunSegitiga yang SebangunKongruenPanjang sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan senilai.Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri.Menentukan perbandingan ruas garis pada segitiga.Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd).Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s).Sudut yang bersesuaian sama besar.Bentuk dan ukurannya sama besar.perbedaansyaratsyarataplikasiaplikasiaplikasisifatDua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s).38°75°¾A110°CBDE
Kesebangunan dan Kekongruenan3A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen1. Foto BerskalaContoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat pada Gambar 1.1.Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif ABCD berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah dicetak, film negatif tersebut menjadi foto A' B' C' D' berukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm.Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter saja dari ukuran sebenarnya.Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya.Contoh 1.1Amati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar 1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil sebenarnya?Penyelesaian:Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto tersebut.Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenar-nya adalah 7 cm : 3,5 m ¾ 7 cm : 350 cm ¾ 1 cm : 50 cm.Jadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi mobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah 2,5 cm ¾ 50 = 125 cm.Jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m.C'D'A'180 mm120 mmB'CD36 mm24 mmAB2,5 cm7 cmab Gambar 1.1 Gambar 1.2Siapa Berani?1. Seorang anak yang tingginya 1,5 m difoto. Jika skala foto tersebut adalah 1 : 20, berapa sentimeter tinggi anak dalam foto?2. Lebar sebuah rumah dalam foto adalah 5 cm. Jika skala foto tersebut 1 : 160, berapa meter lebar rumah sebenarnya?Sumber: Dokumentasi PenerbitSumber: i160.photobucket.comSumber: www.tuningnews.net
4Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX2. Pengertian KesebangunanPada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegi panjang yang masing-masing berukuran 36 mm ¾ 24 mm, 180 mm ¾ 120 mm, dan 58 mm ¾ 38 mm.DACB24 mm36 mmC‘B‘D‘A‘180 mm120 mmSPRQ38 mm58 mmPerbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegipanjang A'B'C'D' adalah 36 : 180 atau 1 : 5. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120 atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegi-panjang tersebut, yaitu sebagai berikut.ABABBCBCDCDCADAD''B''C''C''D 15Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang A'B'C'D' memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang A'B'C'D'.Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping.Sekarang amati Gambar 1.4.EGFXZYMLKabcUkurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut ¾EFG dan ¾XYZ. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, akan diperoleh hubungan berikut.(i) EFXYFGYZEGXZ ;(ii) ¾E = ¾X, ¾F = ¾Y, dan ¾G = ¾Z.Tugas untukmuAmatilah persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS pada Gambar 1.3. Coba kamu selidiki bersama kelompok belajarmu, apakah persegipanjang ABCDsebangun dengan persegipanjang PQRS? Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.Gambar 1.4 Gambar 1.3
Kesebangunan dan Kekongruenan5DCAB4 cmSRPQ4 cmTugas untukmuAmatilah ∆EFG dan ∆KLM pada Gambar 1.4. Coba kamu selidiki bersama kelompok belajarmu, apakah ∆EFGsebangun dengan ∆KLM? Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ¾EFG sebangun dengan ¾XYZ.Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar.Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.Contoh 1.2Amati Gambar 1.5.a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH?b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRSsebangun?c. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat PQRS?Jelaskan hasil penyelidikanmu.Penyelesaian:a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH.(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalahABEFBCFGDCHGADEH 45Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan persegi EFGH sebanding.(ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegi EFGHsebangun.b. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS.(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalahABPQBCQRDCSRADPS 44Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan belahketupat PQRS sebanding.(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai berikut.¾A ≠ ¾P, ¾B ≠ ¾Q, ¾C ≠ ¾R, dan ¾D ≠ ¾S.HGEF5 cm Gambar 1.5CatatanSalah satu syarat kesebangunan adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sama besar adalah ukuran sudutnya sebanding, sehingga pada Gambar 1.5 dapat dituliskan:¾A = ¾E, ¾B = ¾F,¾C = ¾G = ¾D = ¾H.
6Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXPRQSLKNM80°125°Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat PQRS tidak sebangun.c. Telah diketahui bahwa persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD tidak sebangun dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS.Contoh 1.31. Amati Gambar 1.6. Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS, hitung panjang QR.Penyelesaian:Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,ABPQBCQRQR 265¾ 2QR = 30 ¾QR = 15 Jadi, panjang QR adalah 15 cm.2. Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS padaGambar 1.7 sebangun, tentukan besar ¾R dan ¾S.Penyelesaian:Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga ¾P = 125° dan ¾Q = 80°.t "NBUJMBZBOHMBZBOHPQRS.Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang ber-hadapan sama besar sehingga ¾R = ¾P = 125°.t 0MFI LBSFOB TVEVUTVEVU EBMBN MBZBOHMBZBOH CFSKVNMBI360° maka¾P + ¾Q + ¾R + ¾S = 360°¾ 125° + 80° + 125° + ¾S = 360°¾¾S = 360° – 330° = 30°3. Pengertian KekongruenanPernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada Gambar 1.8(a).Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.Gambar 1.7 Gambar 1.6 Gambar 1.8 ADBCEFabA2 cm5 cmBDCS6 cmPRQ
Kesebangunan dan Kekongruenan7Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A¾B, B ¾E, D ¾C, dan C¾F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,AB ¾BE sehingga AB = BEBC ¾EF sehingga BC = EFDC ¾CF sehingga DC = CFAD ¾BC sehingga AD = BC¾DAB ¾¾CBE sehingga ¾DAB = ¾CBE¾ABC ¾¾BEF sehingga ¾ABC = ¾BEF¾BCD ¾¾EFC sehingga ¾BCD = ¾EFC¾ADC ¾¾BCF sehingga ¾ADC = ¾BCFBerdasarkan uraian tersebut, diperoleha. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCDdan persegipanjang BEFC sama panjang, danb. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCDdan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakan kongruen.Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dan segienam PQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan(i) AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST = TU = UP(ii) ¾A = ¾B = ¾C = ¾D = ¾E = ¾F = ¾P = ¾Q = ¾R = ¾S = ¾T = ¾U.Oleh karena itu, segienam ABCDEFkongruen dengan segienam PQRSTU. Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut segienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan(i) ¾A = ¾B = ¾C = ¾D = ¾E = ¾F = ¾G = ¾H = ¾I = ¾J = ¾K = ¾L(ii) AB ≠ GH, BC ≠ HI, CD ≠ IJ, DE ≠ JK, EF ≠ KL, FA ≠ LG.ABCEDFPQTSURGHIKJL Gambar 1.9Siapa Berani?Berikut ini adalah sketsa tambak udang milik Pak Budi100 m200 m100 m45°Pak Budi akan membagi tambaknya menjadi 4 bagian yang sama dan berbentuk trapesium juga, seperti bentuk asalnya. Gambarlah olehmu tambak udang yang telah dibagi empat tersebut.
8Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXBerdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa segienam ABCDEFtidak kongruen dengan segienam GHIJKL. Sekarang lakukan Tugas untukmu di samping.Berdasarkan uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen.Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.Contoh 1.4Amati Gambar 1.10.a. Selidiki apakah persegipanjang ABCDkongruen dengan persegi panjang PQRS?b. Selidiki apakah persegipanjang ABCDsebangun dengan persegi panjang PQRS?Jelaskan hasil penyelidikanmu.Penyelesaian: Unsur-unsur persegipanjang ABCDadalahAB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ¾A = ¾B = ¾C = ¾D = 90°.Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut. PQ = ()()Q22()22106624 106 = 8Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ¾P = ¾Q = ¾R = ¾S = 90°.a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCDkongruen dengan persegipanjang PQRS.b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS. Gambar 1.10SRPQ10 cm6 cmDCAB8 cm6 cmInfoNetKamu dapat menambah wawasanmu tentang materi dalam bab ini dengan mengunjungi alamat:bicarisme.files.wordpress.com/2008/03/soal-bangun-datar.doc
Kesebangunan dan Kekongruenan9Tes Kompetensi 1.1Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.a. Selidiki apakah belahketupat EFGHsebangun dengan belahketupat PQRS?b. Selidiki apakah belahketupat EFGHkongruen dengan belahketupat PQRS?Jelaskan hasil penyelidikanmu.6. Pasangan bangun-bangun berikut adalah sebangun, tentukan nilai x.a. x8 cm6 cm3 cmb. 14 cmx8 cm5 cm7. Perhatikan gambar berikut.NMKL6 cm9 cm110°GEFH6 cm4 cm70° Trapesium EFGH dan trapesium KLMNadalah trapesium sama kaki. Tunjukkan bahwa trapesium EFGH sebangun dengan trapesium KLMN.8. Amati foto berikut.Foto tersebut mempunyai skala 1 : 65. Tentukan tinggi sebenarnya orang yang ada di foto tersebut.9. Trapesium ABCD sebangun dengan tra-pesium PQRS.BDCA9 cm18 cmQSRP12 cm85°1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide (film negatif) berturut-turut 36 mm dan 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, tentukan tinggi pada layar. 2. Amati gambar berikut.CAB10 cm8 cm4 cmQ3 cmPRa. Tentukan panjang AC dan QR.b. Apakah ¾ABC sebangun dengan ¾PQR? Jelaskan jawabanmu.3. Amati gambar berikut.URTSNKMLPada gambar tersebut, jajargenjang RSTUsebangun dengan jajargenjang KLMN. Jika KL = 6 cm, LM = 4 cm, dan RS = 15 cm, tentukan:a. panjang KN dan MN;b. panjang ST, TU, dan RU.4. Amati gambar berikut. Jika layang-layang ABCDsebangun dengan layang-layang BEFC, tentukan:a. panjang CF;b. panjang EF.5. Amati gambar berikut.EFG5 cm12 cmHPQRS5 cm13 cmADCF3 cmBE6 cmSumber: Dokumentasi Penerbit
10Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXa. Tentukan panjang PS.b. Tentukan besar ¾PQR.c. Tentukan besar ¾BCD.d. Tentukan besar ¾BAD.10. Segilima ABCDEseba ngun dengan segi lima PQCRS. Panjang AB = 7,5 cm, BC = 4,2 cm, CD = 3 cm, PS = 1 cm, SR = 2,5 cm, dan RC = 2 cm. Tentukan panjang:a. AE; b. QC;c. DE; d. PQ.EDBCARQSP11. Diketahui tinggi Monas pada gambar di samping 4,4 cm. Jika skalanya 1 : 3.000, tentukanlah tinggi Monas sesungguhnya.12.Bagilah bangun berikut menjadi dua bagian yang sama dan sebangun.Selanjutnya, susunlah kembali kedua bagian tersebut sehingga membentuk ber macam-macam bangun. Cobalah, bangun-bangun apa saja yang dapat kamu per oleh?4,4 cmB. Segitiga-Segitiga yang Sebangun1. Syarat Dua Segitiga Sebangun Amati Gambar 1.11.Pada gambar tersebut, QR sejajar dengan ST (QR // ST).Ukurlah panjang PS, PQ, PT, PR, ST, dan QR. Ukur pula besar ¾TPS, ¾RPQ, ¾PTS, ¾PRQ, ¾PST, dan ¾PQR. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut:(i) PSPQPTPRSTQR ;(ii) ¾TPS = ¾RPQ, ¾PTS = ¾PRQ, ¾PST = ¾PQR.Jadi, ¾PST sebangun dengan ¾PQR. Selanjutnya, amati Gambar 1.12(a). Pada gambar tersebut, ¾ABC adalah segi-tiga denganAB = c; BC = a; AC = b¾A = ¾; ¾B = ¾ ; ¾C = ¾.Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi ¾ABC maka diperoleh ¾KLM seperti pada Gambar 1.12(b).RTPSQKM2b2cL2aAB¾¾¾CabcRPQ¾¾¾cbaGambar 1.11 Gambar 1.12
Kesebangunan dan Kekongruenan11Dengan demikian, KL = 2AB = 2c, LM = 2BC = 2a, danKM = 2AC = 2b. Sehingga ABKLBCLMACKM 12.Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut ¾KLM. Dari pengukuran tersebut, akan di per oleh hubungan berikut:¾A = ¾K = ¾¾B = ¾L = ¾¾C = ¾M = ¾Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Jadi, ¾ABC dan ¾KLM sebangun.Pada Gambar 1.12(c), ¾PQR dibuat sedemi kian rupa sehingga ¾P = ¾A = ¾, ¾Q = ¾B = ¾, dan ¾R = ¾C = ¾.Ukurlah panjang sisi-sisi ¾PQR. Dari pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut.ABPQBCQRACPR Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.Jadi, ¾ABC dan ¾PQR sebangun.Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yang sisi-sisi bersesuaiannya seban ding maka sudut-sudut yang ber sesuai an nya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang sisi-sisi ber sesuai annya sebanding adalah sebangun.Sebaliknya, jika dua se gi tiga memiliki sudut-sudut bersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaian nya sebanding. Hal ini ber arti bahwa dua segitiga yang memiliki sudut-sudut ber sesuai an sama besar adalah sebangun.Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka suatu syarat dua segitiga sebangun? Cobalah nyatakan syarat dua segitiga sebangun dengan kata-katamu sendiri.Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang ber-sesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Contoh 1.51. Coba kamu selidiki apakah ¾ABC dan ¾A'B'C' pada gambar di samping sebangun? Jelaskan hasil penyelidikanmu.InfoMatikaThales (624 S.M.–546 S.M.)Kira-kira 2.500 tahun yang lalu, seorang ahli Matematika Yunani, Thales, meng ungkap kan gagasan yang fenomenal. Ia dapat menghitung tinggi piramida dari panjang bayangan suatu tongkat.BACDEThales menggunakan kenyataan bahwa segitiga besar ABC yang dibentuk oleh piramida dan bayangannya, sebangun dengan segitiga kecil DCE yang dibentuk oleh tongkat dan bayangannya. Oleh karena itu, diperoleh persamaanABBCDCCE Thales dapat mengukur panjang BC, CD, dan CE. Dengan demikian, ia dapat menghitung AB (tinggi piramida) menggunakan persamaan tersebut.Sumber: Matematika, Khazanah Pengetahuan bagi Anak-Anak, 1979BAC86A'B'C'53
12Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXBACEDPenyelesaian: Amati ¾ABC. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2¾ (AC)2 = 82 + 62¾ (AC)2 = 100 ¾AC = 100= 10 Jadi, AC= 10. Amati ¾A'B'C'(A'B')2 = (A'C')2 – (B'C')2¾ (A'B')2 = 52 – 32¾ (A'B')2 = 25 – 9 ¾(A'B')2 = 16 ¾ A'B' = 16 = 4Oleh karena itu,ABAB''B = 84 = 2; BCBC''C = 63 = 2; ACAC''C = 105 = 2. Berarti, ABAB''B = BCBC''C= ACAC''C. Jadi, ¾ABC sebangun dengan ¾A'B'C'.2. Amati Gambar 1.13.a. Jika DE // BC, apakah ¾ADE sebangun dengan ¾ABC?b. Jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan panjang DE.Penyelesaian:a. Pada ¾¾DE dan ¾ABC tampak bahwa¾DAE = ¾BAC (berimpit)¾ADE = ¾ABC (sehadap)¾AED = ¾ACB (sehadap)Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ¾ABC dan ¾ADE sama besar sehingga ¾ABC se bangun dengan ¾ADE.b. ¾ADE sebangun dengan ¾ABC. Oleh karena itu,DEBC = AEAC¾DEBC = AEAE CE¾DE6 = 663¾DE = 4 Jadi, DE = 4 cm.Aktivitas 1.1Tujuan: Mengukur tinggi pohon menggunakan konsep kesebangunan.Cara Kerja:1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 sampai dengan 6 orang.2. Carilah sebuah pohon di sekitar rumah atau sekolah.InfoNetKamu dapat menemukan informasi lebih lanjut tentang materi ini dari internet dengan mengunjungi alamatartofmathematics.wordpress.comSiapa Berani?1. Diketahui ¾PQR dan ¾XYZ dengan unsur-unsur sebagai berikut.¾PQR = 40°,¾PRQ = 65°,¾YXZ = 75°,¾XYZ = 35°. Selidikilah apakah ¾PQR dan ¾XYZsebangun? Jelaskan.2. Amati gambar berikut.TQRPS3 cm4 cm10 cm7,5 cmx cm(x + 30) cmx cm(x + 30) cma. Apakah ¾PQRsebangun dengan ¾PST? Jelaskan.b. Jika ¾PQRsebangun dengan ¾PST tentukan nilai x.Gambar 1.13
Kesebangunan dan Kekongruenan133. Ambil sebuah tongkat yang telah diukur panjangnya.4. Tancapkan tongkat tersebut di ujung bayangan pohon. Amati Gambar 1.14.5. Hitung panjang bayangan tongkat dan bayangan pohon. Kemudian, jawab pertanyaan berikut.a. Apakah ¾ABE sebangun dengan ¾BCD?b. Dengan menggunakan perhitungan, tentukan tinggi pohon tersebut. Presentasikanlah hasil kegiatanmu di depan kelas.Petunjuk: Kegiatan dilakukan sekitar pukul 09.00 atau pukul 16.00 pada saat cuaca sedang cerah.2. Perbandingan Ruas Garis pada SegitigaAmati Gambar 1.15. Pada gambar tersebut, diketahui bahwaST // PR. Oleh karena itu,1) ¾SQT = ¾PQR (berimpit)2) ¾TSQ = ¾RPQ (sehadap)3) ¾STQ = ¾PRQ (sehadap)Berdasarkan (1), (2), dan (3), diperoleh ¾SQT se bangun dengan ¾PQR sehinggaSQPQTQRQSTPR ... (*)Jika PS = p, SQ = q, RT = r, TQ = s, PR = t, dan ST = u, dengan p ≠0, q ≠0, r ≠0, s ≠0, t ≠0, u ≠0, seperti tampak pada Gambar 1.15 maka persamaan (*) menjadiqpqsrsut Sekarang, amati perbandingan senilai qpqsrs .Jika kamu kalikan kedua ruas dengan (p + q)(r + s), diperoleh¾qpq (p + q) (r + s) = srs(p + q) (r + s)¾ q (r + s) = s (p + q) ¾ qr + qs = ps + qs¾ qr + qs – qs = ps + qs – qs ¾ qr = ps¾qpsr Gambar 1.14 Gambar 1.15ABCDESPQRTsqrptuTugas untukmuCoba kamu selidiki. Jelaskan mengapa p≠ 0, q≠ 0, r≠ 0, s≠ 0, t≠ 0, dan u≠ 0?
14Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXJadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada Gambar 1.15 adalah sebagai berikut.qpsr Berdasarkan perbandingan qpsr dapat dikatakan bahwa jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama.Selanjutnya, amati Gambar 1.16.Coba kamu selidiki, apakah ¾PQR sebangun dengan ¾QSR? Pada gambar tersebut tampak bahwa:1) ¾PQR = ¾QSR (siku-siku);2) ¾QRP = ¾QRS (berimpit).Berdasarkan (1) dan (2), diperoleh ¾QPR = ¾RQS. Mengapa? Coba kamu jelaskan.Oleh karena itu, ¾PQR sebangun dengan ¾QSRsehingga ber laku hubunganQRPR = SRQR atau QR2 = SR · PR.Contoh 1.61. Amati Gambar 1.17. Tentukan panjang OM.Penyelesaian:¾MPO sebangun dengan ¾MON sehinggaOMMN = MPOM¾ (OM)2 = MP · MN¾(OM)2 = 3 · 12¾(OM)2 = 36¾ OM = 6 cm Jadi, panjang OM = 6 cm.2. Lima orang anak ingin meng ukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran dilakukan secara tidak langsung.Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan Eseperti tampak pada Gambar 1.18. Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = 12 m. Jika BF sejajar DE, berapa meter lebar sungai itu?QPRSOMNP3 cm9 cmGambar 1.16 Gambar 1.17 Gambar 1.18 ADEFBC
Kesebangunan dan Kekongruenan15Penyelesaian:Langkah 1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan pada soal. Diketahui: AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE =BF = 12 m.Ditanyakan : Lebar sungai (BD)?Langkah 2Menentukan konsep apa yang akan digunakan untuk menjawab soal. Konsep yang digunakan adalah segitiga-segitiga yang sebangun.Langkah 3Melakukan perhitungan dengan menggunakan konsep kese-bangunan, sebagai berikut. Amati Gambar 1.18 pada soal.Dari pengamatan yang teliti, diperoleh ¾ABC sebangun dengan ¾ADE, sehinggaABAD = BCDE¾4ABBD = 312¾ 4 ¾ 12 = 3(AB + BD) kedua ruas kalikan 12 (AB + BD)¾ 48 = 3(4 + BD) substitusikan AB = 4¾ 4 + BD = 16 kedua ruas bagi dengan 3¾BD = 12Jadi, lebar sungai itu adalah 12 meter.Siapa Berani?Amati gambar berikut.PAQRCBTitik P, Q, dan Rberturut-turut terletak pada perpanjangan AC, AB, dan BC suatu ¾ABC. Jika P, Q, dan R segaris, buktikan bahwaAQQBBRRCCPPA = 1 Tes Kompetensi 1.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Amati gambar berikut.TRS6 cm10 cm8 cmMKL9 cm15 cm12 cma. Buktikan bahwa ¾KLM sebangun dengan ¾RST.b. Tentukan pasangan-pasangan sudut yang sama besar.2. Amati gambar berikut.CAB50°RPQ65°a. Buktikan bahwa ¾ABC sebangun dengan ¾PQR.b. Tentukan pasangan sisi-sisi yang berse suaian.
16Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX3. Amati gambar berikut.PBAQOa. Buktikan bahwa ¾AOB sebangun dengan ¾POQ.b. Jika AB = 12 cm, PQ = 8 cm, dan AQ = 24 cm, tentukan panjang OAdan OQ.4. Amati gambar berikut. Diketahui BC // ED.a. Buktikan bahwa¾ABC sebangun dengan ¾AED.b. Jika EB = 6 cm, BC = 10 cm, dan DE = 4 cm, tentukan panjang AE.5. Jika ¾ABC dan ¾PQR pada soal berikut sebangun, tentukan nilai x dan y.a. BACy28°Rx118°PQb. CAB6 cm15 cmx cm10 cmRPQy cm8 cm6. Diketahui ¾ABC sebangun dengan ¾PQR. Jika AB = 6 cm, AC = 8 cm, ¾BAC = 60°, dan PR = 10 cm, tentukan besar¾QRP dan panjang PQ.7. Amati gambar berikut.BP3 cmCAQx cma. Selidiki apakah ¾ABC sebangun dengan ¾APQ? Jelaskan.b. Jika ¾ABC sebangun dengan ¾APQtentukan nilai x. 8. Diketahui ¾ABC sebangun dengan ¾PQR.Jika ¾BAC = 50° dan¾ABC = 68°, tentukan besar ¾QPR, ¾PQR, dan¾PRQ. 9. RPSrqQptPada gambar berikut, ¾PRQ siku-siku, begitu juga dengan ¾PSR. Nyata kan tdalam p, q, dan r.10. Amati gambar berikut.CDB8 mA6 mFEBerdasarkan gambar di atas, tentukan:a. panjang AC; c. panjang AE;b. panjang CF; d. luas ¾ADF.11. Pak Amir akan membuat dua buah papan reklame berbentuk segitiga samasisi. Menurut pemesannya, perbandingan sisi kedua papan itu 3 : 7 dan selisih kedua sisinya 16 dm. Tentukanlah panjang sisi dari setiap segitiga itu.12. Amati gambar berikut.4 cmHCDB3 cmAEFGIDari gambar tersebut, buktikan:a. ¾DCG sebangun dengan ¾IBC, b. ¾DCG sebangun dengan ¾HGF. Kemudian, tentukan panjang CI, IB, HG, dan HF.AEDCB
Kesebangunan dan Kekongruenan1713.Diketahui ¾ABC dan ¾PQR kedua-duanya sama kaki. Jika besar salah satu sudut dari ¾ABC adalah 80° dan besar salah satu sudut dari ¾PQR adalah 50°, jawablah pertanyaan berikut.a. Sketsalah beberapa kemungkinan ben tuk geometri kedua segitiga itu dan tentukan besar semua sudutnya.b. Apakah ¾ABC dan ¾PQR sebangun? Jelaskan.C. Dua Segitiga yang KongruenPerhatikan Gambar 1.19. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan segitiga PQR. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan: (i) AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR. (ii) ¾A = ¾P, ¾B = ¾Q, dan ¾C = ¾R.Oleh karena itu, ¾ABC kongruen dengan ¾PQR.Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut ¾KLM. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur ¾ABC. Dari hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut.(iii) AB ≠ KL, BC ≠ LM, dan AC ≠ KM.(iv) ¾A = ¾K, ¾B = ¾L, dan ¾C = ¾M.Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa ¾¾BCtidak kongruen dengan ¾KLM. Akan tetapi,ABKLBCLMACKM Dengan demikian, ¾ABC sebangun dengan¾KLM.Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka pengertian dua segitiga yang kongruen? Cobalah nyatakan pengertian dua segitiga yang kongruen dengan kata-katamu sendiri.Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen.1. Sifat Dua Segitiga yang KongruenGambar 1.20 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan segitiga-segitiga yang kongruen.Apabila ¾ABD digeser ke kanan tanpa memutar dengan arah ABuuuurur maka diperoleh ABCRPQMKL Gambar 1.19 Gambar 1.20GAHBICDEF
18Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXA¾B (A menempati B)B¾C (B menempati C) D¾E (D menempati E) AB¾BC sehingga AB = BCBD¾CE sehingga BD = CEAD¾BE sehingga AD = BEHal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen memenuhi sifat umum berikut.Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.Dalam penggeseran ¾ABE dengan arah ABuuuurur, diperoleh pula¾DAB¾¾EBC sehingga ¾EAB = ¾FBC¾DBA¾¾ECB sehingga ¾DBA = ¾ECB¾ADB¾¾BEC sehingga ¾ADB = ¾BECHal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen memenuhi sifat umum berikut.Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Contoh 1.71. Pada gambar di samping, PQ diputar setengah putaran dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya P’Q’. Selidiki apakah ¾POQ kongruen dengan ¾P'OQ' ? Jelaskan hasil penyelidikanmu.Penyelesaian:PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleha. PQ¾P'Q' sehingga PQ = P'Q' PO¾P'O sehingga PO = P'O QO¾ Q'O sehingga QO = Q'Ob. ¾QPO¾¾Q'P'O sehingga ¾QPO =¾Q'P'O¾PQO¾¾P'Q'O sehingga ¾PQO =¾P'Q'O¾POQ¾¾P'OQ' sehingga ¾POQ =¾P'O'QDari penjelasan (a) dan (b) maka ¾POQ kongruen dengan ¾P'OQ' , ditulis ¾POQ ¾¾P'OQ'.2. Pada gambar di samping, ¾ABC kongruen dengan¾PQR. Tentukan:a. besar ¾ACB dan ¾PQR;b. panjang sisi QR. Penyelesaian:a. ¾ABC kongruen dengan ¾PQR maka¾ACB = ¾PRQ = 62°¾ABC = 180° – (¾BAC + ¾ACB)PQ'P'QOQRP62°54°ABC18 cm20 cmSiapa Berani?Amati gambar berikut.BEACDAE diputar setengah putaran dengan pusat Bsehingga bayangannya CD. Akibatnya, ¾ABEkongruen dengan ¾CBD. Jika BE = 6 cm, AE = 8 cm, BC = 5 cm, ¾BAE = 60°, dan¾ABE = 70°, tentukan:a. panjang BD dan AB;b. besar ¾BDC, ¾CBD, dan ¾BCD.
Kesebangunan dan Kekongruenan19= 180° – (54° + 62°) = 64°¾PQR =¾ABC = 64°.b. ¾ABC kongruen dengan¾PQR maka QR = BC = 18 cm.2. Syarat Dua Segitiga KongruenPada bagian sebelumnya, kamu sudah mengetahui bahwa dua segitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan demikian, kamu harus menghitung setiap panjang sisi dan besar sudut kedua segitiga untuk membuktikan kekongruenan dua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu. Apakah kamu tahu cara lain yang lebih efektif?a. Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (s.s.s) Amati Gambar 1.21. Pada gambar tersebut, AB = PQ, BC= QR, dan AC = PR. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua segitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan ¾A = ¾P; ¾B = ¾Q; ¾C = ¾R.Dengan demikian, ¾ABC dan ¾PQR memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, ¾ABC kongruen dengan ¾PQR. Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara umum? Untuk mengetahuinya, lakukanlah Tugas untukmu di samping.Hasil yang benar dari tugas tersebut memperjelas sifat berikut.Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen.b. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar (s.sd.s)Amati Gambar 1.22. Pada gambar tersebut, DE = KL, ¾D = ¾K, dan DF = KM. Ukurlah panjang EF dan LM, besar ¾Edan ¾L, serta besar ¾F dan ¾M. Berdasarkan hasil pengukuran Siapa Berani?Coba kamu selidiki persamaan dan perbedaan antara dua segitiga yang sebangun dan dua segitiga yang kongruen.RPQCAB Gambar 1.21 Gambar 1.22Tugas untukmuGambarlah lima pasang segitiga sebarang yang sisi-sisi bersesuaiannya sama panjang (s.s.s). Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga. Selidikilah apakah besar sudut yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga tersebut sama besar? Dapatkah dinyatakan bahwa jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen? Tuliskan hasil penyelidikanmu pada selembar kertas, kemudian kumpulkan pada gurumu.FDE°MKL°
20Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXtersebut, kamu akan memperoleh hubungan EF = LM, ¾E = ¾L, dan ¾F = ¾M.Dengan demikian, pada ¾DEF dan ¾KLM berlaku(i) DE = KL, EF = LM, DF = KM;(ii) ¾D = ¾K, ¾E = ¾L, ¾F = ¾M.Hal ini menunjukkan bahwa ¾DEF dan ¾KLM memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ¾DEF¾¾KLM.Uraian tersebut memperjelas sifat berikut.Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka kedua segitiga itu kongruen.c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama Panjang (sd.s.sd)Amati Gambar 1.23. Pada gambar tersebut ¾G = ¾X, ¾H= ¾Y, dan GH = XY. Ukurlah besar ¾I dan ¾Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan ¾I = ¾Z, GI= XZ, dan HI = YZ.Dengan demikian, pada ¾GHI dan ¾XYZ berlaku (i) ¾G = ¾X, ¾H = ¾Y, dan ¾I = ¾Z;(ii) GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ.Hal ini menunjukkan bahwa ¾GHI dan ¾XYZmemenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ¾GHI¾¾XYZ.Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut?Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen.d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang (sd.sd.s)Amati Gambar 1.24. Pada gambar tersebut, ¾A = ¾X, ¾B = ¾Y, dan BC = YZ. Ukurlah besar ¾C dan ¾Z, panjang ABdan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan¾C = ¾Z, AB = XY, dan AC = XZ.IGH°ZXY°CABZXYTugas untukmuBuatlah 3 pasang segitiga sebarang. Setiap pasang segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Ukurlah panjang sisi yang bersesuaian. Apakah dapat disimpulkan bahwa jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka dua segitiga tersebut kongruen? Coba selidiki adakah syarat yang lain agar dua segitiga tersebut kongruen? Tuliskan hasil penyelidikanmu pada kertas terpisah. Kemudian, kumpulkan pada gurumu.Gambar 1.23 Gambar 1.24
Kesebangunan dan Kekongruenan21Dengan demikian, pada ¾ABC dan ¾XYZ berlaku(i) ¾A = ¾X, ¾B = ¾Y, dan¾C = ¾Z;(ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ.Hal ini menunjukkan bahwa ¾ABC dan ¾XYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ¾ABC¾¾XYZ.Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut?Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang (sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.Contoh 1.81. Amati Gambar 1.25. Selidikilah apakah ¾ABC kongruen dengan ¾PQR? Jelaskan.Penyelesaian:Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga¾ABC kongruen dengan ¾PQR.2. Amati gambar di samping. PQRS adalah jajar genjang dengan salah satu diago nalnya QS. Selidikilah apakah ¾PQS dan ¾RSQkongruen? Jelaskan.Penyelesaian:Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR. Selanjutnya, QS adalah diagonal sehingga QS = SQ.Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari ¾PQS dan ¾RSQ sama panjang (s.s.s). Jadi, ¾PQS dan ¾RSQ kongruen.3. Amati trapesium siku-siku PQRS pada gambar berikut. PQ = 5 cm, SR = 3 cm, dan PS = 3 cm. Selidikilah apakah ¾PSRkongruen dengan ¾PRQ?Penyelesaian: Jika¾PSR dan ¾PRQ kongruen maka haruslah PS = PR dan SR = RQ karena ¾PSR = ¾PRQ (siku-siku). PR = ()()22() = 33223 = 32 Jadi, PR ≠ PS. Oleh karena PQ = 5 cm maka PQ ≠ PR. Dengan demikian, BAC8 cm50°70°RPQ50°70°8 cm Gambar 1.25SPRQSRQPTugas untukmuLukislah masing-masing dua segitiga yang memenuhi syarat:a. s. s. s b. s. sd. sc. sd. s. sdd. sd. sd. sSelidikilah apakah setiap pasangan segitiga yang kamu buat kongruen? Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas.
22Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXsisi-sisi yang bersesuaian dari ¾PSR dan ¾PRQ tidak sama panjang. Jadi, ¾PSR dan ¾PRQ tidak kongruen.3. Panjang Garis dan Besar Sudut dari Bangun GeometriKonsep segitiga kongruen dapat digunakan untuk menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti jajar genjang, belahketupat, dan layang-layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun geometri, pelajarilah uraian berikut.Gambar 1.26 memperlihatkan segitiga siku-siku ABC. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa ACsedemikian rupa sehingga ¾ABT = 30°, diperoleh¾ATB = 180° – (30° + 30°) = 120°¾BTC = 180° – ¾ATB = 180° – 120° = 60°¾BCT = 180° – (¾BAT + ¾ABC) = 180° – (30° + 90°) = 60°¾CBT = ¾ABC – ¾ABT = 90° – 30° = 60°Amati bahwa:t¾BAT = ¾ABT = 30° sehingga ¾ABT samakaki, dalam hal ini AT = BT; t¾CBT = ¾BCT = ¾BTC = 60° sehingga ¾BTC samasisi, dalam hal ini BT = BC = CT.Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Amati bahwa AT = CT sehingga BT merupakan garis berat ¾ABC.Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BCatau AC = BT + BT = 2 BT.Uraian tersebut memperjelas Sifat 1 dan Sifat 2 dari segitiga siku-siku bersudut 30° seperti berikut. Sifat 1Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30° yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan panjang setengah hipotenusanya.Sifat 2Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku bersudut 30° sama dengan panjang setengahhipotenusanya.Hal PentingIstilah-istilah penting yang kamu temui pada bab ini adalah• kesebangunan• kekongruenan• skala• perbandingan sisi• perbandingan sudutBAT30°30°CGambar 1.26 CatatanGaris berat segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik tengah sisi segitiga dan titik sudut di hadapan sisi itu.Siapa Berani?Perhatikan gambar berikut. ABCDEFGHJITentukan bangun-bangun datar yang kongruen.
Kesebangunan dan Kekongruenan23Contoh 1.91. Amati Gambar 1.27(a). Jajargenjang ABCD terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ¾ADCdan ¾CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi jajargenjang tersebut.Penyelesaian:Pelajarilah Gambar 1.33(b). BA = 2 CBsifat 2¾CBA siku-siku di C sehingga berlaku hubungan (BA)2 = (AC)2 + (CB)2 (2CB)2 = 122 + (CB)2 4(CB)2 = 144 + (CB)2 3(CB)2 = 144CB = 43 Dengan demikian, BA = 2CB = 243 = 83. Oleh karena¾ADC¾¾CBA makaAD = CB = 43 cm dan DC = BA = 83 cm.2. Amati Gambar 1.28(a). Pada gambar tersebut, AB = 6 cm, BC = 3 cm, DC = 4 cm, ¾DBC = 53°, dan DB = DA = 5 cm. Tentukanlah besar ¾DAB.ADBCB3 cm4 cm3 cm3 cm5 cmADC53°EPenyelesaian:t 1BEBHBNCBSUFSTFCVU
¾ABD adalah segitiga samakaki. Tarik garis tinggi ¾ABD yang me lalui titik D hingga memotong AB di E seperti pada Gambar 1.28(b).t 0MFI LBSFOB¾ABD segitiga samakaki dan DE garis tingginya maka AE = EB. Adapun ¾DEB siku-siku di E, EB = 3 cm, dan DB = 5 cm.(DE)2 = (DB)2 – (EB)2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 DE = 4 cm. t 4FLBSBOH
BNBUJ¾DEB dan ¾DCB. DC = DE = 4 cm CB = EB = 3 cmDB = DB = 5 cm (berimpit)Oleh karena itu, ¾DEB kongruen dengan ¾DCB, akibatnya ¾DBC =¾DBE = 53°.30°60°12 cmCABab12 cmCABD60° Gambar 1.271. Dari selembar karton, buatlah dua model bangun yang kongruen dengan ukuran bebas seperti pada gambar berikut.AB2. Guntinglah bangun B menurut garis putus-putus.3. Acaklah potongan-potongan bangun B.4. Susun dan tempelkan potongan-potongan tersebut hingga menutupi bangun A.5. Pertanyaan:a. Apakah potongan-potongan bangun B dapat disusun menyerupai bangun A?b. Apa yang dapat kamu simpulkan?Matematika Ria
24Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXt¾DEB kongruen dengan ¾DEA karena ED = ED = 4 cm (berimpit) DB = DA = 5 cmEB = EA = 3 cm Jadi, ¾DAB =¾DBE = 53°.Tes Kompetensi 1.3Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Pada gambar berikut, ¾KLM diputar setengah putaran pada titik tengah MK, yaitu titik O. Akibatnya, ¾KLM dan bayangan nya, yaitu ¾MNK kongruen.LMONKa. Tentukan pasangan sisi yang sama panjang.b. Tentukan pasangan sudut yang sama besar.c. Berbentuk apakah bangun KLMN?2. Amati gambar berikut.DACBABCD adalah belah ketupat dengan salah satu diagonal nya BD. Dari gambar tersebut diperoleh ¾ABD kong ruen dengan ¾CBD.a. Tentukanlah pasangan sisi yang sama panjang.b. Tentukanlah pasangan sudut yang sama besar.3. Amati gambar berikut.SRPQPQRS adalah layang-layang dengan sumbu simetri nya QS. Dari gambar tersebut diperoleh ¾PQS kongruen dengan ¾RQS.a. Tentukanlah pasangan sisi yang sama panjang.b. Tentukanlah pasangan sudut yang sama besar.4. Pada gambar berikut, PQ dan RS sama panjang dan sejajar.OSQPR Buktikan bahwa ¾POQ kongruen dengan ¾SOR.5. Pada gambar berikut, KLMN adalah persegi panjang dengan kedua diago nal-nya berpo tongan di titik O.
Kesebangunan dan Kekongruenan25 9. Tentukan panjang:a. AE; b. EB; d. AD; e. BC.c. ED;10. Amati gambar berikut.ACEBD¾¾ Diketahui:AB = BD, ¾¾ = ¾¾, dan AE ¾BC. a. Buktikan bahwa ¾ABC kongruen dengan ¾BED.b. Jika BC = 10 cm dan CD = 13BD, tentukanlah panjang garis DE dan luas ¾BED.11. Amati gambar berikut.DEABC100°ABCD ada lah tra pe sium samakaki. Jika BC // ED dan AE = ED, tentukan besar:a. ¾EBC; b. ¾EDC; c. ¾BED; d. ¾AED; e. ¾EAD;f. ¾ADE.12. Amati gambar berikut.BACDEFONMKOLa. Buktikan bahwa ¾KLM kongruen dengan ¾MNK.b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gam bar tersebut.6. Pada gambar berikut, ABCD adalah tra-pe sium samakaki dengan kedua garis dia -gonal nya berpotongan di titik O.DCAOBa. Buktikan bahwa ¾DAC kong ruen dengan ¾CBD.b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gambar tersebut.7. Pada gambar berikut, BC = CD = CE, ¾ABF = 50°, dan BF // CE. Tentukan besar:a. ¾BCE;b. ¾CDEc. ¾CED;d. ¾CBE;e. ¾BEC.Untuk soal nomor 8 dan 9, perhatikan gambar berikut dengan DC = 8 cm dan ED = EB.DABEC30º30º60º8. Tentukan besar:a. ¾BED;b. ¾AED; c. ¾DBC; d. ¾BDC; e. ¾ADE;f. ¾BCD.DFAEBC
26Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IXa. Tentukan pasangan-pasangan segitiga kongruen yang terdapat dalam belah-ketupat ABCD.b. Jika BD = 32 cm, DC = 20 cm, dan FC = 13OF, tentukan luas ¾BDF.13. Amati gambar berikut dengan saksama.ABCDE Diketahui ¾BCD = ¾BAD dan AB = CD. Selidikilah apakah ¾ABE kongruen dengan ¾CDE.14. Amati gambar berikut.PQRSTPada gambar berikut, QT = RT dan PQ = RS. Buktikan bahwa ¾PQTkongruen dengan ¾SRT.1. Dua bangun dikatakan sebangun jikaa. panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut memiliki per bandingan senilai, danb.sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar.2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.3. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.4. Syarat dua segitiga kongruen:a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s); ataub.Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s); atauc. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd); ataud. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s).RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.
Kesebangunan dan Kekongruenan27Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.Tes Kompetensi Bab 1Refleksi1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu.2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang kesulitan-kesulitan yang dihadapi saat mempelajari bab ini.3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.1. Pada sebuah peta, jarak 3,2 cm me wakili 288 km. Skala peta tersebut adalah ....a. 1 : 4.500.000 b. 1 : 6.000.000c. 1 : 7.500.000 d. 1 : 9.000.0002. Diketahui sebuah kolam berbentuk ling karan. Pada denah berskala 1 : 200, kolam itu digambar dengan diameter 4 cm. Jika π = 3,14 maka luas tanah yang digunakan untuk kolam adalah ....a. 200,96 m2b. 50,24 m2c. 25,12 m2 d. 12,56 m23. Pasangan bangun datar berikut ini pasti sebangun, kecuali ....a. dua segitiga samasisib. dua persegic. dua segienam beraturand. dua belahketupat4. Diketahui ¾ABC sebangun dengan ¾PQR. Panjang PR adalah ....ABC4 cm3 cmPQR4,5 cma. 6 cm b. 7,5 cm c. 8,5 cm d. 9 cm5. Amati gambar berikut. Diketahui layang-layang ABCD sebangun dengan layang-layang PQRS. Besar sudut PSRadalah .... a. 59° b. 61° c. 78° d. 91°6. Sebuah penampung air yang panjang -nya 10 m sebangun dengan kotak korek api yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut 4 cm; 3,5 cm; dan 1,5 cm. Volume penampung air tersebut adalah ....PQSRBDCA91º105º
28Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Jika OA = 4 cm, OB = 8 cm, dan OD = 10 cm, maka panjang OC adalah ....a. 2 cm b. 6,5 cm c. 7 cmd. 5 cm11. Pada gambar berikut, nilai x sama dengan ....9 cmx10 cma. 6,7 cm b. 5,0 cmc. 4,0 cmd. 3,0 cmEbtanas 199512. Amati gambar berikut.DAC24 cmy17 cm25 cm25 cmB74ºxE7 cmPada gambar berikut, besar sudut xdan panjang y adalah ....a. 16° dan 7 cm b. 16° dan 24 cmc. 74° dan 7 cmd. 74° dan 24 cm13. Pada gambar berikut, layang-layang PQRS terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ¾PQRdan ¾PSR.PSQR60º30ºTa. 328.125 liter b. 287.135 literc. 210.000 liter d. 184.250 liter 7. Panjang bayangan tugu karena sinar Matahari adalah 15 m. Pada tempat dan saat yang sama, tongkat sepanjang 1,5 m yang ditancapkan tegak lurus terhadap tanah mempunyai bayangan 3 m. Tinggi tugu adalah ....a. 6 m b. 7,5 m c. 8,5 m d. 9 m 8. Pada segitiga siku-siku ABC, DE // AB. Jika AB = 18 cm, BE = 20 cm, dan EC= 10 cm, luas ¾CDE adalah ....a. 7,5 cm2b. 15 cm2c. 30 cm2 d. 270 cm2 9. Pada segitiga ABC berikut, DE // BC. Perban dingan Luas ¾ADE : luas trapesium BCED adalah 4 : 5. Luas ¾ADE : luas ¾ABC adalah ....a. 4 : 3 b. 5 : 9 c. 4 : 9d. 9 : 410. Pada gambar berikut, AC // DB.AODBCABECDADBCE
Kesebangunan dan Kekongruenan29 Jika SQ = 24 cm maka panjang QRadalah ....a. 16 cm b. 20 cm c. 24 cm d. 28 cm14. Amati gambar berikut.BACDEPada gambar di atas, ¾ABC kongruen dengan ¾EDC, AC = 10 cm, dan DE= 53 cm. Keliling ¾EDC adalah ....a. 23 cm b. 182 cm c. (15 + 53) cm d. (15 + 35) cm15. Pada gambar berikut, layang-layang ABCD sebangun dengan layang-layang EFGD. AEDBCGF125º30º Jika AB = 18 cm, CD = 12 cm, DG= 34DC, ¾ABC = 30°, dan ¾DEF = 125°, panjang ED dan besar ¾DAB adalah .... a. 9 cm dan 125° b. 3 cm dan 125°c. 9 cm dan 30° d. 3 cm dan 80°16. Benda yang sebangun dengan persegi berikut adalah ....a. ubin berukuran 30 cm × 20 cmb. buku berukuran 40 cm × 30 cmc. sapu tangan ber ukuran 20 cm × 20 cmd. permukaan meja berukuran 15 dm × 10 dm17. Amati gambar berikut.ABCDEF Jika diketahui ¾BAC = 60°; AD = AE= 5 cm; dan EC = DB = 4 cm maka panjang BE adalah ....a. 7 cmb. 8 cmc. 9 cmd. 10 cm18. Besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 3x°, 5x°, dan 7x°. Sudut yang terkecil dari segitiga itu besarnya ....a. 9° b. 12°c. 15°d. 18°
30Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX19. Amati gambar berikut.ABCDEPada gambar tersebut, ΔACE sebangun dengan ΔBCD. Jika AC = 6 cm, panjang AB adalah ....a. 1,6 cm b. 2,4 cmc. 3,6 cmd. 4,8 cm20. Pada gambar berikut, ABCD ΔABC¾ ΔADC. Jika DC = 6,5 cm, AO = 4 cm, dan ¾DAC = 140° maka panjang AB adalah ....a. 4 cmb. 5,5 cmc. 6,5 cmd. 8 cm